Ciao, hai provato con onfocus e onblur?
ad esempio con un evento di onmouseover potresti attivare la funzione focus
sul div che apre il div nascosto
onmouseover="fuoco('divNascosto')";
	codice:
	//
function fuoco(div){
   var div=document.getElementById(div);
   div.style.visibility='visible';
   div.style.display='block';
   div.focus();
}
 
e poi con onblur="chiudi(this)"; o indichi il div tra apici
	codice:
	function chiudi(div){
   var div=document.getElementById(div);
   div.style.visibility='hidden';
   div.style.display='none';
}
 
Non so, è una mezza idea...
Magari ci sono soluzioni migliori.