Algoritmo per Calcolo di prodotto tra due numeri di n e m cifre da una base X a base 10

[jabjoint]

Buonasera, può essere utile un algoritmo che calcola il prodotto tra due numeri di n e m cifre da una base X a base 10?
Poiché il numero e la base possono assumere numeri reali, che significato hanno in matematica se hanno senso e come sarebbero eventualmente utili?

[SoloWiFi]

È una supercazzola?

[Dwarf]

Ho chiesto a DeepSeek a cui mi sento particolarmente legato.

La tua domanda tocca due aspetti interessanti: l'utilità di un algoritmo per il prodotto di numeri in basi diverse e il significato matematico di numeri e basi non intere. Analizziamoli separatamente.


### 1. Algoritmo per il prodotto di numeri in base \( X \) e conversione in base 10
Un algoritmo che calcola il prodotto di due numeri con \( n \) e \( m \) cifre in una base \( X \) e li converte in base 10 può essere utile in diversi contesti:
- **Elaborazione numerica**: Se stai lavorando con numeri rappresentati in una base non decimale (es. binaria, esadecimale, ottale), convertire il risultato in base 10 può facilitare la comprensione umana o l'integrazione con altri sistemi.
- **Algebra e teoria dei numeri**: In alcuni problemi, è necessario manipolare numeri in basi diverse e convertirli per verificare proprietà o eseguire operazioni.
- **Implementazione di librerie matematiche**: Alcune librerie devono gestire numeri in basi arbitrarie (es. per crittografia o aritmetica simbolica).


#### Come funzionerebbe?
1. **Converti i due numeri da base \( X \) a base 10**:
- Un numero \( a = (d_{n-1}d_{n-2}\dots d_0)_X \) in base \( X \) si converte in base 10 come:
\[
a_{10} = \sum_{k=0}^{n-1} d_k \cdot X^k
\]
- Analogamente per il secondo numero \( b \).
2. **Moltiplica i due numeri in base 10**:
\[
c_{10} = a_{10} \cdot b_{10}
\]
3. (Opzionale) Se vuoi mantenere il risultato in base \( X \), converti \( c_{10} \) indietro a base \( X \).


#### Utilità
- Se \( X \) è intero (es. 2, 8, 16), l'algoritmo è ben definito e utile per applicazioni pratiche.
- Se \( X \) non è intero, la questione diventa più teorica (vedi punto 2).


---


### 2. Numeri e basi non intere (reali)
Se \( X \) o le cifre \( d_k \) sono numeri reali, la rappresentazione posizionale può ancora avere senso, ma con alcune precisazioni:


#### Base \( X \) reale
- Una base \( X \) reale (es. \( X = \pi \), \( X = 2.5 \)) può essere usata per rappresentare numeri, ma con alcune differenze rispetto al caso intero:
- **Non unicità**: In basi non intere, un numero può avere più rappresentazioni (es. in base \( \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \), il numero 1 può essere scritto come \( 1 \) o \( 0.\overline{11}_\phi \)).
- **Convergenza**: Le cifre devono essere scelte in modo che la serie \( \sum_{k=-\infty}^n d_k \cdot X^k \) converga.
- **Cifre limitate**: Per basi \( X > 1 \), le cifre sono tipicamente in \( \{0, 1, \dots, \lfloor X \rfloor\} \).


#### Esempi di basi non intere
1. **Base aurea \( \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)**:
- Usata in alcuni contesti di teoria dei numeri e rappresentazioni ottimali.
- Ogni numero intero ha una rappresentazione finita in base \( \phi \) usando cifre \( \{0, 1\} \) (sistema "beta-espanse").
2. **Base \( \sqrt{2} \)**:
- Studiata in informatica teorica per rappresentazioni efficienti.
3. **Base frazionaria (es. \( X = 0.5 \))**:
- Meno comune, ma possibile (con cifre negative o altre restrizioni).


#### Utilità delle basi non intere
- **Compressione di dati**: Rappresentare numeri in basi non standard può a volte ridurre il numero di cifre necessarie.
- **Analisi di algoritmi**: In alcuni algoritmi (es. FFT, crittografia), basi non intere appaiono naturalmente.
- **Proprietà matematiche**: Studiare rappresentazioni in basi non intere aiuta a capire strutture algebriche e dinamiche.


#### Problemi
- **Stabilità numerica**: Calcolare con basi non intere può introdurre errori di arrotondamento.
- **Complessità computazionale**: Operazioni come confronto o aritmetica diventano più difficili.


---


### Conclusione
- Se \( X \) è intero, l'algoritmo è utile e ben definito per applicazioni pratiche.
- Se \( X \) è reale, la rappresentazione ha senso matematico ma è più teorica, con applicazioni in contesti specializzati (es. teoria dei numeri, informatica teorica).
- Le cifre devono essere scelte in modo appropriato per garantire la convergenza e l'unicità (quando possibile).

[jabjoint]

Ho chiesto a DeepSeek a cui mi sento particolarmente legato.

La tua domanda tocca due aspetti interessanti: l'utilità di un algoritmo per il prodotto di numeri in basi diverse e il significato matematico di numeri e basi non intere. Analizziamoli separatamente.


### 1. Algoritmo per il prodotto di numeri in base \( X \) e conversione in base 10
Un algoritmo che calcola il prodotto di due numeri con \( n \) e \( m \) cifre in una base \( X \) e li converte in base 10 può essere utile in diversi contesti:
- **Elaborazione numerica**: Se stai lavorando con numeri rappresentati in una base non decimale (es. binaria, esadecimale, ottale), convertire il risultato in base 10 può facilitare la comprensione umana o l'integrazione con altri sistemi.
- **Algebra e teoria dei numeri**: In alcuni problemi, è necessario manipolare numeri in basi diverse e convertirli per verificare proprietà o eseguire operazioni.
- **Implementazione di librerie matematiche**: Alcune librerie devono gestire numeri in basi arbitrarie (es. per crittografia o aritmetica simbolica).


#### Come funzionerebbe?
1. **Converti i due numeri da base \( X \) a base 10**:
- Un numero \( a = (d_{n-1}d_{n-2}\dots d_0)_X \) in base \( X \) si converte in base 10 come:
\[
a_{10} = \sum_{k=0}^{n-1} d_k \cdot X^k
\]
- Analogamente per il secondo numero \( b \).
2. **Moltiplica i due numeri in base 10**:
\[
c_{10} = a_{10} \cdot b_{10}
\]
3. (Opzionale) Se vuoi mantenere il risultato in base \( X \), converti \( c_{10} \) indietro a base \( X \).


#### Utilità
- Se \( X \) è intero (es. 2, 8, 16), l'algoritmo è ben definito e utile per applicazioni pratiche.
- Se \( X \) non è intero, la questione diventa più teorica (vedi punto 2).


---


### 2. Numeri e basi non intere (reali)
Se \( X \) o le cifre \( d_k \) sono numeri reali, la rappresentazione posizionale può ancora avere senso, ma con alcune precisazioni:


#### Base \( X \) reale
- Una base \( X \) reale (es. \( X = \pi \), \( X = 2.5 \)) può essere usata per rappresentare numeri, ma con alcune differenze rispetto al caso intero:
- **Non unicità**: In basi non intere, un numero può avere più rappresentazioni (es. in base \( \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \), il numero 1 può essere scritto come \( 1 \) o \( 0.\overline{11}_\phi \)).
- **Convergenza**: Le cifre devono essere scelte in modo che la serie \( \sum_{k=-\infty}^n d_k \cdot X^k \) converga.
- **Cifre limitate**: Per basi \( X > 1 \), le cifre sono tipicamente in \( \{0, 1, \dots, \lfloor X \rfloor\} \).


#### Esempi di basi non intere
1. **Base aurea \( \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)**:
- Usata in alcuni contesti di teoria dei numeri e rappresentazioni ottimali.
- Ogni numero intero ha una rappresentazione finita in base \( \phi \) usando cifre \( \{0, 1\} \) (sistema "beta-espanse").
2. **Base \( \sqrt{2} \)**:
- Studiata in informatica teorica per rappresentazioni efficienti.
3. **Base frazionaria (es. \( X = 0.5 \))**:
- Meno comune, ma possibile (con cifre negative o altre restrizioni).


#### Utilità delle basi non intere
- **Compressione di dati**: Rappresentare numeri in basi non standard può a volte ridurre il numero di cifre necessarie.
- **Analisi di algoritmi**: In alcuni algoritmi (es. FFT, crittografia), basi non intere appaiono naturalmente.
- **Proprietà matematiche**: Studiare rappresentazioni in basi non intere aiuta a capire strutture algebriche e dinamiche.


#### Problemi
- **Stabilità numerica**: Calcolare con basi non intere può introdurre errori di arrotondamento.
- **Complessità computazionale**: Operazioni come confronto o aritmetica diventano più difficili.


---


### Conclusione
- Se \( X \) è intero, l'algoritmo è utile e ben definito per applicazioni pratiche.
- Se \( X \) è reale, la rappresentazione ha senso matematico ma è più teorica, con applicazioni in contesti specializzati (es. teoria dei numeri, informatica teorica).
- Le cifre devono essere scelte in modo appropriato per garantire la convergenza e l'unicità (quando possibile).

L'algoritmo non esegue la conversione in base 10 ma calcola subito il prodotto.
Quindi 3.1415 può essere visto in base 5 come un numero reale e il suo quadrato ad esempio non è 3.1415^2( in base 10) O anche scritto (3.1415_10) ma è (3.1415_5)^2 ma il cui risultato è espresso in base 10.

[jabjoint]

In sostanza questo avviene, ma senza conversione



Prodotto tra 3.14_5 e 3.6_5 in base 10
Per calcolare il prodotto tra (3.14_5) e (3.6_5) e convertirlo in base 10, dobbiamo seguire questi passaggi:

1. Conversione di (3.14_5) in base 10
La rappresentazione (3.14_5) significa:

(3) è la parte intera.
(14) è la parte decimale.
La conversione in base 10 avviene come segue:

[ 3.14_5 = 3 \times 5^0 + 1 \times 5^{-1} + 4 \times 5^{-2} ]

Calcoliamo ogni termine:

(3 \times 5^0 = 3)
(1 \times 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2)
(4 \times 5^{-2} = \frac{4}{25} = 0.16)
Sommiamo i risultati:

[ 3 + 0.2 + 0.16 = 3.36 ]

2. Conversione di (3.6_5) in base 10
La rappresentazione (3.6_5) significa:

(3) è la parte intera.
(6) è la parte decimale.
La conversione in base 10 avviene come segue:

[ 3.6_5 = 3 \times 5^0 + 6 \times 5^{-1} ]

Calcoliamo ogni termine:

(3 \times 5^0 = 3)
(6 \times 5^{-1} = \frac{6}{5} = 1.2)
Sommiamo i risultati:

[ 3 + 1.2 = 4.2 ]

3. Calcolo del prodotto in base 10
Ora possiamo calcolare il prodotto dei due numeri convertiti in base 10:

[ 3.36 \times 4.2 ]

Calcoliamo:

[ 3.36 \times 4.2 = 14.112 ]

Risultato Finale
Il prodotto tra (3.14_5) e (3.6_5) in base 10 è (14.112).