Ciao a tutti, ragazzi!! Qualcuno tra un video di Belen ed una barzelletta, per caso potrebbe aiutarmi nello svolgimento di questo esercizio?

Traccia :
"Definite ricorsivamente la sequenza :

{ a_n = 3^n + 1 } _n >= 0 ."

Svolgimento mio :

a_0 = 2 a_1 = 4 a_2 = 10 a_3 = 28 a_4 = 82 . . . .

{ a_0 = 2 (Condizione iniziale).

a_n = a_(n-1) * 3 - 2 } (Secondo me, ma credo non sia corretto!) Per ogni n >= 0 (Relazione ricorsiva).

Metodo per la ricerca della relazione ricorsiva : (Nemmeno questo è giusto! )

a_n= 3^n + 1

a_(n-1) = 3^(n-1) + 1 (Non lo so fare!!)

a_(n-1) = ( 3^n / 3 ) + 1 = a_n + 1 / 3 ==> ??

Intuizione :
Si presuppone che sia :

a_n = 3^n + 1

Verifichiamo che ciò è vero.

Per ogni n >= 1 a_n = 3^n + 1 .

Per convenzione (poniamo) a_0 = 2 .

Principio d'induzione :
I) Passo Base :

a_1 = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4 . V (Verificata).

a_2 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 . V (Verificata).

II) Passo Induttivo :

Per ogni n >= 0 a_n = 3 * n + 1 --> 3^(n+1) + 1 .

Supponiamo vera a_n = 3^n + 1 . (Ipotesi Induttiva).

a_(n+1) = a_n * 3 - 2 = (3^n + 1) * (3) - 2 = (3^(n+1) + 3) - 2 = 3^(n+1+1) - 2 = 3^(n+2) - 2 = ?? (NO!!)

// Oppure avrei dovuto fare più semplicemente :

a_n * 3 + 1 = 3^n + 1 * 3 +1 = 3^(n+1) + 2 ?? (Non ci siamo comunque, perché ottengo 2, e non +1?)