[BASH] Identificare il primo giorno del mese

[fermat]

ciao!

ho questo script che in pratica mi fa il backup di una cartella, e mi cancella i backup più vecchi di 30 giorni:

#!/bin/bash

# YYYY-MM-DD
TIMESTAMP=$(date +%F)
BACKUP_DIR=/mnt/bkp
FILENAME=backup-files-$TIMESTAMP.tar.gz
SRCDIR=/var/www
KEEP_BACKUPS_FOR=30

function cancella_vecchi() {
    echo "Cancellazione $BACKUP_DIR/*.tar.gz"
    find $BACKUP_DIR -type f -name "*.tar.gz" -mtime +$KEEP_BACKUPS_FOR -exec rm {} \;
}

function backup_dir() {
    tar -cpzf $BACKUP_DIR/$FILENAME $SRCDIR
}

# ESECUZIONE
cancella_vecchi
echo "=========="
backup_dir
echo "=========="
printf "FINE!\n\n"

mi hanno chiesto di fare in modo che i files vecchi vengano cancellato se non sono del primo giorno del mese.
qualche suggerimento su come fare??