Premesso che è un "oggetto" che non conoscevo, sono due cose diverse className con classList la compatibilità cross-browser c'è ma solo con le versioni più recenti https://www.w3schools.com/jsref/prop_element_classlist.asp se vuoi la compatibilità anche con versioni più vecchie opterei per uso di jQuery se per caso lo usi. Gestirlo con className potrebbe essere più complicato.