La prima volta che apri la pagina la variabile $_POST è vuota, quindi $_POST["nome"] non esiste e ti da l'errore che hai tu.
La variabile viene riempita solo quando clicchi il pulsante submit del tuo input, a quel punto la pagina viene caricata nuovamente e il contenuto del tuo input al momento in cui hai cliccato il pulsante submit va dentro alla variabile $_POST["nome"].