[mate2] rg matrice di un sistema lineare

[iBat]

Originariamente inviato da taddeus
il rango di una matrice è pari alla dimensione della 'massima' sottomatrice quadrata avente determinante diverso da 0.

[edriv]

Siano A,B spazi vettoriali (a dimensione finita) e f:A -> B una funzione lineare (cioè una matrice).
Il rango lo definiamo come la dimensione dell'immagine di f.
L'immagine di f è l'insieme degli elementi di B che si scrivono come f(a), per qualche a in A, e si dimostra facilmente che è un sottospazio di B.
Il nucleo è l'insieme degli elementi a in A tali che f(a) = 0.

Vale questa relazione tra dimensione dell'immagine (rango) e del nucleo:
dimensione nucleo + rango = dimensione di A

Dimostrazione:
Prendiamo una base v_1,...,v_n del nucleo (quindi la dimensione del nucleo sarà n), possiamo completarla ad una base di A: v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_{n+k} è una base di A. (e la dimensione di A sarà n+k). Se dimostriamo che f(v_{n+1}),...,f(v_{n+k}) è una base di f(A) (l'immagine di A), allora abbiamo dimostrato quello che volevamo, cioè che il rango è k. Verifichiamo che genera f(A):
ogni elemento di f(A) lo posso scrivere come f(v) (dove v è in A), quindi f(a_1v_1 + ... + a_{n+k}v_{n+k}), e per la linearità di f, come a_1 f(v_1) + ... + a_{n+k}f(v_{n+k}). Visto che f(v_1),...,f(v_n) sono 0, è uguale a a_{n+1}f(v_{n+1}) + ... + a_{n+k}f(v_{n+k}). Quindi f(v_{n+1}),...,f(v_{n+k}) genera f(A).
Basta far vedere che sono linearmente indipendenti. Ma se
a_{n+1}f(v_{n+1}) + ... + a_{n+k}f(v_{n+k}) = 0 allora
f(a_{n+1}v_{n+1} + ... + a_{n+k}v_{n+k}) = 0 allora
a_{n+1}v_{n+1} + ... + a_{n+k}v_{n+k} è un elemento del nucleo
e qui si chiude, per l'indipendenza lineare di v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_{n+k} .

[panta1978]

Originariamente inviato da vortex87
La riduci a scala e vedi quanti pivot ti rimangono, quello è il rango.

A me ne sono rimasti tre di pivot, quindi dovrei essere a posto.





Nel ruolo di playmaker, invece, mi sento abbastanza poco fornito.

[vortex87]

Originariamente inviato da panta1978
A me ne sono rimasti tre di pivot, quindi dovrei essere a posto.

[IMG*]http://hoopedia.nba.com/images/7/7c/Kareem1.jpg[/IMG]
[IMG*]http://hoopedia.nba.com/images/9/98/Olajuwon1.jpg[/IMG]
[IMG*]http://hoopedia.nba.com/images/4/4e/Wilt1.jpg[/IMG]

Nel ruolo di playmaker, invece, mi sento abbastanza poco fornito.

[zannas]

Originariamente inviato da edriv
Siano A,B spazi vettoriali (a dimensione finita) e f:A -> B una funzione lineare (cioè una matrice).
Il rango lo definiamo come la dimensione dell'immagine di f.
L'immagine di f è l'insieme degli elementi di B che si scrivono come f(a), per qualche a in A, e si dimostra facilmente che è un sottospazio di B.
Il nucleo è l'insieme degli elementi a in A tali che f(a) = 0.

Vale questa relazione tra dimensione dell'immagine (rango) e del nucleo:
dimensione nucleo + rango = dimensione di A

Dimostrazione:
Prendiamo una base v_1,...,v_n del nucleo (quindi la dimensione del nucleo sarà n), possiamo completarla ad una base di A: v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_{n+k} è una base di A. (e la dimensione di A sarà n+k). Se dimostriamo che f(v_{n+1}),...,f(v_{n+k}) è una base di f(A) (l'immagine di A), allora abbiamo dimostrato quello che volevamo, cioè che il rango è k. Verifichiamo che genera f(A):
ogni elemento di f(A) lo posso scrivere come f(v) (dove v è in A), quindi f(a_1v_1 + ... + a_{n+k}v_{n+k}), e per la linearità di f, come a_1 f(v_1) + ... + a_{n+k}f(v_{n+k}). Visto che f(v_1),...,f(v_n) sono 0, è uguale a a_{n+1}f(v_{n+1}) + ... + a_{n+k}f(v_{n+k}). Quindi f(v_{n+1}),...,f(v_{n+k}) genera f(A).
Basta far vedere che sono linearmente indipendenti. Ma se
a_{n+1}f(v_{n+1}) + ... + a_{n+k}f(v_{n+k}) = 0 allora
f(a_{n+1}v_{n+1} + ... + a_{n+k}v_{n+k}) = 0 allora
a_{n+1}v_{n+1} + ... + a_{n+k}v_{n+k} è un elemento del nucleo
e qui si chiude, per l'indipendenza lineare di v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_{n+k} .

ste cose le sò, quello che non ho capito sono come gestire i SISTEMI LINEARI, non le funzioni. e in particolare: il rango della matrice di un sistema è la dimensione della sua immagine o del suo ker? mi avete scritto tutte cose vere, ma non avete risposto alla mia domanda, oppure io per ignoranza dei sistemi lineari non ho capito.

[taddeus]

Tira fuori la 'triangola' e vedrai subito il rango.

[miriane]

Originariamente inviato da zannas
ste cose le sò, quello che non ho capito sono come gestire i SISTEMI LINEARI, non le funzioni. e in particolare: il rango della matrice di un sistema è la dimensione della sua immagine o del suo ker? mi avete scritto tutte cose vere, ma non avete risposto alla mia domanda, oppure io per ignoranza dei sistemi lineari non ho capito.

io te l'ho detto

il sistema lineare rappresenta l'applicazione lineare da cui parti, cioè la "funzione", e per questa puoi definire il "rango", che è la dimensione dell'immagine di questa applicazione

tu ti esprimi in maniera un pò confusionaria, se mi chiedi se "il rango della matrice di un sistema è la dimensione della sua immagine", della immagine di chi, della matrice? prima definiscimi l'immagine di una matrice...

[taddeus]

Originariamente inviato da miriane
...prima definiscimi l'immagine di una matrice...

Pazienta, la sta fotografando

[miriane]

Originariamente inviato da taddeus
Pazienta, la sta fotografando

zannas, ma non è che non ti è ben chiaro cos'è una applicazione lineare?

[vortex87]

Originariamente inviato da zannas
ste cose le sò, quello che non ho capito sono come gestire i SISTEMI LINEARI, non le funzioni. e in particolare: il rango della matrice di un sistema è la dimensione della sua immagine o del suo ker? mi avete scritto tutte cose vere, ma non avete risposto alla mia domanda, oppure io per ignoranza dei sistemi lineari non ho capito.

E io nel 2° post che minchia ho detto?