Ti conviene usare le sessioni, ossia, il form resta come prima, però l'altra parte la devi modificare un po'
Aggiungi
Codice PHP:
<?php
  session_start();
?>
All'inizio della pagina, ma proprio all'inizio: dev'essere prima di qualsiasi output a browser.

E poi modifichi il codice che hai postato in questo modo:
Codice PHP:
<head>
<?php
        $_SESSION['style'] = "default";
        if ( $_GET["style"] )
                $_SESSION['style'] = $_GET["style"];
         
        $files = array();
        $dh = opendir( "styles" );
        while( $file = @readdir( $dh ) )
        {
                if( preg_match( "/[.]css$/", $file ) );
                {
                        $file = preg_replace( "/[.]css$/", "", $file );
                        $files []= $file;
                }
        }
?>
<style type="text/css" media="all">@import url(styles/<?php echo($_SESSION['style']); ?>.css);</style>
</head>
il session_start() dovrai metterlo in tutte le pagine in cui vuoi che la variabile di sessione sia resa disponibile.