ps: altri miei dubbi: per il database, posiziono la cartella direttamente dentro quella che ho creato in tomcat giusto?
la posizione della cartella contenente il database non e' rilevante. Se installi mysql con le impostazioni di default, puoi connetterti al database passando per la porta 3306 (localhost:3306), indipendentemente da dove sia posizionato il tuo database nel file system.
Ad esempio, con la stringa di connessione "jdbc:mysql://localhost:3306/dbproject" puoi accedere al db chiamato "dbproject" indipendentemente dal fatto che esso si trovi in "c:\pippo" o "c:\pippo\pluto\topolino\paperino".
Inoltre devi specificare nome utente e password per accedere al database.

e poi: è giusta la sintassi della query?
no, non puoi farla cosi', sostanzialmente perche' le stringhe delle query jdbc sono "solo testo" per cui non puoi specificare al loro interno nomi di variabili che hai istanziato nel tuo codice java. Per farlo, devi creare un PreparedStatement utilizzando i "?" nella query, e poi settare i valori di quei "?". Poi finalmente potrai eseguire la query.

il tuo codice diventa quindi:
codice:
<%
String username=request.getParameter("username");
String password=request.getParameter("password");

Class.forName("com.mysql.jdbc.Driver");

Connection conn=DriverManager.getConnection("jdbc:mysql://localhost:3306/dbproject", "tuo_utente_db", "password_tuo_utente_db");
String querySQL = "SELECT nome, cognome FROM medicoremoto WHERE medicoremoto.username = ? AND medicoremoto.password = ?";
PreparedStatement ps = conn.prepareStatement(querySQL);
ps.setString(1, username);
ps.setString(2, password);
ResultSet rs= ps.executeQuery();
%>
Dopodiche' puoi estrarre i risultati ottenuti dal tuo ResultSet...