Innanzitutto immagino ke il campo nome della tabella sia univoco, cioé non vi sono 2 bottoni del menù dinamico con lo stesso nome.

Presuppongo che la tabella tbl_menu_admin contenga 2 campi: nome e link.

Allora:
<?php

$blocco_pagina =
"
<HTML.........
................
";

$blocco_pagina .=
"
<FORM NAME=\"form_modifica\" ACTION=\"modifica_menu.php\" METHOD=\"post\">
";

mysql_select_db($database_finsoft, $finsoft);
$query_Recordset1 = "SELECT * FROM tbl_menu_admin";
$Recordset1 = mysql_query($query_Recordset1, $finsoft) or die(mysql_error());

while($row_Recordset1 = mysql_fetch_assoc($Recordset1))
{
$nome_bottone = stripslashes($row_Recordset1['nome']);
$link_bottone = stripslashes($row_Recordset1['link']);

$blocco_pagina .=
"

$nome_bottone
<INPUT TYPE=\"text\" NAME=\"link_pulsante[$nome_bottone]\" VALUE=\"$link_bottone\">
";
}

$blocco_pagina .=
"


<INPUT TYPE="submit" value="Modifica menù">
</FORM>
.........
</HTML>
";

echo $blocco_pagina;

In pratica, nella mia impostazione di una pagina .php, tutto il contenuto di ciò che deve andare a video, lo metto in una variabile stringa, cioé $blocco_pagina.
Al termine del riempimento di tale stringa, faccio una echo.

La mia idea è quella di un form in cui a video compare il nome del bottone del menù ed affianco un campo testo in cui vi è il link da associare al bottone ed è modificabile.

Nell'esempio da te riportato:

home | home.php
news | news.php


a video, seconda la mia intenzione, dovrebbe uscire:

home seguito da campo testo contenente home.php
news seguito da campo testo contenente news.php

sia home.php che news.php possono essere cambiati.

In tale form, abbiamo un array associativo, cioé un array in cui l'indice non è un numero ma una stringa; in particolare la stringa è data dal nome del bottone, ed il valore associato a tale elemento dell'array è il link ad esso associato, quindi

in $link_pulsante['home'] ci sarà home.php se non è stata fatta alcuna modifica, oppure il nuovo link

Ora, nella pagina modifica_menu.php
dovrai semplicemente fare un confronto tra il link contenuto nella tabella e quello passato con il form, lì dove c'è un cambiamento fai l'update, ossia:

$sql_menu = "SELECT * FROM tbl_menu_admin";
$prendi_menu = @mysql_query($sql_menu, $finsoft) or die(mysql_error());

while($riga_menu = @mysql_fetch_assoc($prendi_menu))
{
$nome_bottone = stripslashes($riga_menu['nome']);
$link_bottone = stripslashes($riga_menu['link']);

if ($link_pulsante[$nome_bottone] != $link_bottone)
{
//fai l'update
}
}


spero di aver capito bene il tuo problema.