Hai 2 possibilità

1) Controlli che il nome del file uploadato non sia già presente in un file uploadato precedentemente. Ho dato un veloce sguardo al codice mi sembra di aver visto che salvi il nomed ei files sul db. Se c'è non effettui lo spostamento ed avverti l'utente.
Il limite è che questo controlo avverrà solo a file uploadato e che quindi l'utente potrebbe attendere per poi dover rifare la procedura.

2) Quando uploadi il file i sui dati sono all'interno dell'array $_FILES e sono modificabili. Quindi basterà cambiarlo $_FILES["tuocampofile"]["filename"] = $nomerandom .
A questo punto $nomerandom sarà il nome del tuo file. Ricordati di mantenere la giusta estensione.

Ciao