Se già sai a priori quanti campi devi visualizzare potresti assegnare nomi diversi per le varie checkbox, ad esempio:

<input name="interesse1" type="checkbox" id="interesse" value="internet">Internet
<input name="interesse2" type="checkbox" id="interesse" value="sport">Sport
<input name="interesse3" type="checkbox" id="interesse" value="arte">Arte

Poi nella pagina dove arrivi con il form per intenderci la pagina scritta nel campo ACTION del form,

if ($_POST['interesse1'] == "internet")
{
vuol dire che è stato checkato interesse1
}
else vuol dire che interesse1 non è stato checkato

lo stesso controllo lo fai per tutte le altre variabili.

Se, invece, nn sai a priori quanti valori devi far comparire per il checkbox perché li prendi dal DB, allora potresti fare:

1. una query con cui prendi i valori dal DB;
2. per ogni valore che prendi dal DB:

<input name="interesse[]" type="checkbox" value="$valore_DB">$valore_DB


Ora, nella pagina di arrivo del form, avrai il vettore $_POST['interesse'] che conterrà solo i valori checkati, quindi:

for ($i=0; $i<sizeof($_POST['interesse']); $i++) $_POST['interesse'][$i];

con tale ciclo accedi agli elementi checkati.

Spero di aver compreso.