Un metodo semplice è anche quello di dichiarare una variabile a livello di modulo così che risulti visibile a tutti i form del progetto.

Quindi:
1. aggiungi un modulo al progetto (es. mioModulo.mdl)
2. aggiungi una variabile al modulo (es. Public miaStringa as String)
3. Quando gestisci l'evento click sul pulsante che ti fa passare al secondo form, salvi il contenuto della textbox nella variabile miaStringa.
4. Quando gestisci l'evento load (o dove ti fa comodo...) del secondo form leggi dalla variabile miaStringa

Ciao.