prima di tutto basati sull'osservazione che in 3D quei due punti (x,y,z) puoi benissimamenti intenderli come vettori spiccati dall'origine . . .

. . .traslando il sistema di riferimento in un punto ottieni l'equazione della retta passante per quei due punti.

quindi:

dati P(x0,y0,z0) e Q(x1,y1,z1)

porto il sistema di riferimento in P indicando Q come Q' (x1-x0,y1-y0,z1-z0)

Q' e' quel vettore che dista dalla nuova origine fissata in P. il vettore che parte da P e arriva in Q' lo indico con v

a questo punto ottieni l'equazione vettoriale della retta passante per i due punti P e Q (un ente geometrico e' equivalente ad un altro a meno di una roto-traslazione del sistema di riferimento)

x=Q + tv (Q non Q')

questa e' l'equazione vettoriale parametrica della retta! (il parametro t serve come costante moltiplicativa del vettore, li permette infatti di allungarsi e di accorciarsi per individuare cosi tutti i punti sulla retta)

per ottenere l'equazione del piano parallelo alla retta puoi procedere cosi:
ti basi sul fatto che il prodotto scalare tra due vettori, nel caso e' nullo, ne assicura il parallelismo.

usa le forme vettoriali per semplicita. . .

un piano e' descritto in forma vettoriale come quel'ente geometrico passante per un punto e ortogonole ad un vettore dato.

quindi:
n(scalar)Q'=0

questa e' l'equazione vettoriale del piano.

A questo punto hai tutti gli ingredienti per descrivere l'equazione di quel piano che passerà per un punto dato e sarà parallelo alla retta data.

per esser parallelo e' sufficiente che sia una combinazione lineare dei parametri del vettore ortogonale al vettore che descrive il piano.
quando il prodotto scalare tra questi due vettori e' zero ai il vettore giusto per descrivere il piano. . . devi solo farlo passare per il punto dato

non essere precipitoso raggionaci su un attimo . . . non e' difficile

spero di non aver commesso errori. . .fammi sapere se hai dubbi