Al di là della modalità di verifica di login e password, quanto meno inefficiente (anziché tirarsi giù tutta la tabella Utente, sarebbe molto più efficiente effettuare una select ponendo delle clausole where su login e password...) devi capire se il problema è nell'accesso al database o altro.

Intanto, visto che dal codice che hai postato qui non si capisce, sei sicuro che il metodo processRequest() venga chiamato nella doGet() o nella doPost()?

Dopodiché, hai provato a cambiare il metodo e a non invocare il database, scrivendo una risposta statica tipo Hello World, e verificare se funziona?

Infine, se il problema è nell'accesso al db, sicuramente viene lanciata qualche eccezione che tu gestisci con delle e.printStackTrace(); verifica nell'output del web container che cosa viene scritto.

Ciao,