Se recuperi la variabile user e la assegni alla variabile username devi controllare username e non user, così come le altre condizioni.

codice:
<%
	'Save entered username and password
	Username = Request.Form("user")
	Password = Request.Form("pass")
	Descrizione = Request.Form("descrizione_utente")
	nome_utente = Request.Form("nome")
	
	if (Username  = "") then
		Response.Write("Inserisci l'Username! E riprova")
	elseif (Password = "") then
		Response.Write("Inserisci la password! E riprova")
	elseif (Descrizione = "") then
		Response.Write("Inserisci una descrizione! E riprova")
	else
		
	'Build connection
	set conn = server.CreateObject ("ADODB.Connection")
	conn.Open "Provider=Microsoft.Jet.OLEDB.4.0;Data Source=" & server.MapPath ("database.mdb")
	set rs = server.CreateObject ("ADODB.Recordset")
	'Open all records
	rs.Open "SELECT * FROM tabella", conn, 3, 3 
		
	'Add a record
	rs.AddNew 
	'Put username and password in record
	rs("Username")=Username
	rs("Password")=Password
	rs("Descrizione")=Descrizione
	'Save record
	rs.Update 
	
	rs.close
	conn.close
	
	set rs=nothing
	set conn=nothing
	
	Response.Write("Ciao  " & nome_utente & " , i dati sono stati inseriti con successo nel database!")
	
	end if
%>
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Inoltre con questo codice dai la possibiltà di inserire sempre lo stesso username.
devi controllare che lo username non esista nel db prima di inserirlo.

Per inserire nel db utilizza una query di inserimento usando la sintassi "insert into.."