mmm...
Mi sembra che quel parametro $conn nella query non sia ben accetto...

La connessione col database è stabilita?

Io invece di richiamare il file di configurazione all'interno della funzione lo richiamerei fuori e dichiarerei come globale $conn.

Codice PHP:
require("include/config.php");

function 
controlla_utente ($nome_utente) {    
      
     global 
$conn;
                          
     
$query "SELECT * FROM utenti_pubb WHERE nome_utente = '$nome_utente'";
     
$result mysql_query($query,$conn);
     if(
$result && mysql_num_rows($result) > 0) {
          
          return 
false;

     }
     
     return 
true;