si, è possibile ma non nel modo in cui l'hai fatto tu...

nell'action del form devi inserire l'indirizzo della pagina php che andrà a elaborare la risposta
Codice PHP:
<form action="pagina.php" method="post" class="" id="">
    <input  name="search" id="search" size="20" />
    ...

</form> 
nella pagina di elaborazione (pagina.php) setti il valore della variabile di sessione "search"
Codice PHP:
$_SESSION['search']=$_POST['search'];