Segnalo che abbiamo parlato recentemente di questo problema per implementare una finestra di login dell'applicazione (suggerisco eventualmente una ricerca in proposito).

In generale, è sufficiente evitare di chiudere la finestra principale (MainForm) per evitare di chiudere l'applicazione, oppure evitare di designare appunto un MainForm per la propria applicazione (argomento di Application.Run).

Ciao!