Non ho capito bene che controlli faccia esattamente lo script postato, ma per la verificare che campo sia stato compilato e sufficiente:

codice:
<script language=JavaScript>
function validate(frm) {
	if (frm.name.value == ""){
	alert("Introdurre il nome nella casella "Nome"!);
	return false;
	 }
 }
</script>
consiglio anche una semantica corretta gli input scritti in piccolo e delimitare i valori dalle virgolette tipo:
codice:
<input name="name" type="text"  id="name" />
anche il nome del form lo cambierei, in alcuni browser potrebbe non funzionare. Meglio non utilizzare nomi riservati al form tipo: select, input, submit, etc...