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allora, ho provato e funziona in modalità inversa.

$posDot = strpos($quote, '> >');
$txtLen=strlen($quote);
$cut = substr($quote, $posDot, $txtLen-$posDot);
echo $cut;

Ovvero, anzichè tagliare via tutte le righe che cominciano con 2 o piu segni maggiore > fa esattamente l'opposto, taglia via quelle con 1 solo segno maggiore.

Ho provato, da ignorante, a cambiare:

$txtLen+$posDot

ma non è successo niente