Dipende.
Se vuoi che la pagina venga staticamente modificata (cioè dopo il click e l'aggiunta di una voce all'elenco la pagina rimanga modificata) o se vuoi che la modifica sia temporanea.
Nel primo caso devi ricorrere a linguaggi server-side (ASP o PHP) nel secondo caso puoi andare a modificare il DOM.
Ti consiglio di reperire informazioni sulle tecniche di manipolazione del DOM.
Puoi creare, ad esempio un nuovo elemento LI ed "appenderlo" al "Parent" cioè l'UL padre.