SQLite è un DB basato su filesystem e per di più su un singolo file ... "esportare un db" SQLite in un'altro SQLite è la procedura più semplice che ci sia:
- copia il file del db
- rinomina
fine.

Diverso il discorso da SQLite 2 a SQLite 3 ma altrettanto semplice, spiegato bene nel sito stesso ed in PHP è sufficiente, tramite PDO, creare due oggetti diversi, uno per SQLite 2, l'altro per SQLite3 ed inserire in quest ultimo i risultati estrapolati dal primo.