Scrivi erroneamente sia il tag di paragrafo sia quello del grassetto, ecco perché non funziona.

<p color=red />Nome: </p><b />nomepersona[/b]
.

Se un tag ha il suo omonimo di chiusura (sia [/B] sia </p> in questo caso), quello di apertura non deve presentare lo slash finale.

Il codice corretto è:
Codice PHP:
<?php
echo "


<p color=\"red\">Nome: </p>
[b]$nome[/b]";
// eccetera

 ?>
Se invece lavori con i CSS, ti consiglio di chiamare due classi che ti formattino propriamente i due contenuti.

Codice PHP:
<?php
echo "


<span class=\"red\">Nome: </span>
<span class=\"bold\">nomepersona</span>
";
// eccetera
 ?>
Eccoti il CSS da applicare:
codice:
.red{
      color: red;
} 
.bold{
      font-weight: bold;
}
Un'ultima annotazione: se chiudi il tag </p> prima dell'altra stringa da stampare a video, e pensi che le troverai entrambe sulla stessa linea, allora ti sbagli.
Chiudendo un paragrafo con </p> sappi che tutto quello che c'è dopo è ritenuto dal browser come facente parte di un altro paragrafo, per cui verrà messo a capo.
È per questo motivo che io ho utilizzato il tag SPAN.
Dai un'occhiata alla guida di HTML per maggiori informazioni.