Normalmente se una stringa supera la larghezza nella textarea questa va a capo da sola, a meno che l'intera stringa non contenga neanche uno spazio.
In quel caso non è possibile andare a capo: come dovrebbe essere spezzettata una parola lunga 100 caratteri? A che punto?
Potresti solo fare in modo che la barra non compaia con "overflow:hidden", ma la stringa continuerebbe sulla stessa riga rendendo invisibile parte del contenuto.