In entrambi i casi devi catturare l'evento onChange() del select

qualcosa del genere (e' solo per dare uno punto di partenza)

codice:
<script type="text/javascript" language="JavaScript">
function alertselected(obj){
    selectedValue = obj.options[obj.selectedIndex].value;
    if(selectedValue == 1)
    {
      document.getElementById("rm").checked=true;
      document.getElementById("sm").checked=false;
    }
    else
    {
      document.getElementById("sm").checked=true;
      document.getElementById("rm").checked=false;
    }
    

}
</script>

<form name="my_form">
<select name="my_select" onChange="alertselected(this)">
<option value="1">Option 1 RM</option>
<option value="2">Option 2 SM</option>
<option value="3">Option 3 SM</option>
</select>
<input type="checkbox" id="rm" name="RM" value="1">
<input type="checkbox" id="sm" name="RM" value="1">
 
</form>

Nota che per farlo funzionare ho dovuto inserire nel codice js l'informazione su quali siano le opzioni RM e quali SM :

codice:
 if(selectedValue == 1)
Cio' e' molto poco elegante ma - ripeto - e' solo per dare un'idea.

Invece per salvare i dati nel DB e' tutto un altro paio di maniche. Soprattutto se non vuoi ricaricare la pagina.

Un ultimo consiglio veloce (perche' questo e' il forum lato client e non lato server...) ma se ti interessa una stampa perche' non crei un PDF?

Ciao