while ($row = mysql_fetch_assoc($rq)){
echo '<option value='.$row['nome'].' >'.
$row['nome'].'</option>';
}
Il problema è che non utilizzi nessun delimitatore nell'attributo VALUE del tag OPTION.

Modifica il tuo codice come segue e vedrai che funziona:

Codice PHP:
while ($row = mysql_fetch_assoc($rq)){
    echo '<option value="' . htmlspecialchars($row['nome']) . '" >'. $row['nome'].'</option>';
} 
Oppure più semplicemente:

Codice PHP:
while ($row = mysql_fetch_assoc($rq)){
    echo '<option>' . htmlspecialchars($row['nome']) . '</option>';
}