1. Quello che hai fatto mi sembra giusto.
2. Se vuoi eseguire in locale un file php devi avere un'ambiente dove possa essere interpretato ed eseguito (tipicamente apache con php), altrimenti succede quello che hai detto.

3. E' giusto che quando ti chiami index ti apra log_user. Infatti controlla se c'è il cookie. Dal momento che non c'è ti indirizza alla pagina per crearlo.

4. Quello che non so è perchè poi ti dia questo errore. A me funziona benissimo.
Lo hai copiato giusto?

Quale ti risulta essere la decima riga?