Diciamo che hai diverse possibilità:

1. Fai una semplice pagina php che dopo aver scambiato l'ordine dei 2 record nella tabella torna alla pagina precedente. In modo la tabella verrà generata nuovamente con l'ordine modificato.

2. Richiamare la stessa pagina php (che però non fa alcun redirect) tramite ajax, ma a quel punto, in base all'esito positivo o negativo dello scambio, devi provvedere a visualizzare il nuovo ordine della tabella con javascript.

Sicuramente la seconda è più "elegante", ma la prima è di gran lunga più semplice