Vi ringrazio per le risposte.
Il problema era che non avevo capito che dovevo dichiarare l'istanza mettendo il nome della dll (mysql_class) seguito dal nome della classe (sempre mysql_class):

codice:
' creo un'istanza della classe mysql_class
        Dim l As New mysql_class.mysql_class
        'inizializzo la variabile connessione
        Dim Connection As MySqlConnection = Nothing
        'connessione
        Connection = l.mysql_connect("localhost", "xxx", "xxx", "PROVA")
...
Non ho usato shared ma il metodo indicato da totem (funzione d'istanza), dichiarando la funzione mysql_connect public.
Ora funziona, grazie.