è un bel casino il tuo file, lanci il session start 2 volte, includi due volte la classe (ok che usi include_once, però non vuol dire che devi abusarne).

devi cambiare il tuo file cosi:

Codice PHP:
<?php  
include_once 'persona.class.php';
session_start(); 
?>
<html>
<head>
<title>Documento senza titolo</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">
</head>

<body>
<html>
<head>
<title>Documento senza titolo</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">
</head>

<body>
   <?php
        $p = $_SESSION['persona'];

        $nome = $p->getNome();

        echo $nome;
    ?>
</body>
</html>