Semplicemente ti devi ricordare di usare come action del form la pagina completa della query string già presente.

Supponiamo che tu sia nella pagina ElePrest.php?ID=8&cognome=Maggi , e ti manchi solo il valore del mese.
Per non perdere la querystring che già hai, ed aggiungere il valore del mese, dovrai fare:

<form method='get' action='ElePrest.php?ID=8&cognome=Maggi'>
<select name='mese' id='mese'>
<option value='01' /> Gennaio
<option value='02' /> Febbraio
...
</select>
<input type='submit' value='Invia' name='submit' id='submit' />
</form>