Credo sia normale questo comportamento, il problema è che posso spiegartene il motivo, ma non so se il metodo che ti illustrerò potrà aiutarti a risolvere.

Il player di flash è un plug-in del browser, per cui i sistemi di posta che hanno la visualizzazione più o meno collegata con il browser riescono a riprodurti il filmato SWF senza problemi (le webmail infatti le apri con un browser).
I client di posta più (diciamo) evoluti, permettono la visalizzazione di codice HTML, ma in forma molto "spartana", soprattutto per evitare problemidi sicurezza.
Non so se hai notato, ma vengono bloccati anche gli activeX, le immagini JPG eccetera.

Per ovviare a questo problema, io girerei intorno alla situazione.
Il codice HTML che invii per mail, compilalo anche con un tag <noscript> prima del filmato flash.
Se non esiste un modo per interpretarlo, il browser/client restituirà il messaggio che metti nel tuo noscript.
Fossi in te, in quel messaggio metterei un qualcosa del genere.
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Naturalmente metti un link che punta al tuo sito, dove hai provveduto a salvare il testo del tuo messaggio sotto forma di pagina HTML.

Spero di essere stato chiaro.