Grazie!
Ho risolto modificando la stringa dove richiedo il destinatario, togliendo l'uguale (=):
- messaggio.addaddress destinatario -
Il codice funzionante è quindi questo:

<%
invio = request("invio")
destinatario = request("destinatario")
corpomessaggio = request("corpomessaggio")

if (invio = "invia") then
Set messaggio = Server.CreateObject("Persits.MailSender")
messaggio.host = "smtp.miosito"
messaggio.from = "info@miosito"
messaggio.addaddress destinatario
messaggio.subject = "Hai ricevuto una cartolina!"
messaggio.body = corpomessaggio

On Error Resume Next
messaggio.Send
If Err <> 0 Then
Response.Write "Error encountered: " & Err.Description
End If
%>

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