il problema é il seguente:
Per embeddare l'immagine, phpmailer usa un'espressione regolare (riga 1542) che prevede un =, mentre nel css non si usa =.
O modifichi questa riga e non solo oppure puoi provare a modificare il css così:

background-image:url(http://www.tuosito.com/img/public/sfondomail.jpg);

ma non so se funziona