Riedit:
Forse erano gli apici nel nome del campo a non andare bene

Codice PHP:
              "SELECT id FROM calendario_corsi  
              WHERE id_aula = '"
.$id_aula."' AND
              '"
.$data_inizio."' <= data_fine AND
              '"
.$data_fine."' >= data_inizio
              " 
Vi faccio sapere