Secondo me fai prima ad andare a Roma in treno.
Fontana di Trevi si trova molto vicina a Termini. Basta prendere la metro linea A direzione Battistini e scendere alla seconda fermata, a Barberini. Da li per via del Tritone si arriva a Fontana di Trevi.
L'alternativa per il parcheggio custodito è quello di Anagnina, capolina della metro A. Non so quanto costa però.
Ripeto, meglio venire a Roma in treno.