Hai allocato poca memoria : 10 char per ogni stringa sono troppi pochi,
mettine 16 (la dimensione della stringa più lunga, più uno per il terminatore)
e non dovresti avere più problemi.

Ma potresti anche fare in modo che il programma allochi automaticamente
solo la memoria che serve.

codice:
int main()
{
	int c;
	char *text1="piove col sole";
	char *text2="piove col mare";
	char *text3="piove di notte";
	char *text4="piove poco sole";
	char *str1 = calloc( strlen( text1)+1, sizeof(char));
	char *str2 = calloc( strlen( text2)+1, sizeof(char));
	char *str3 = calloc( strlen( text3)+1, sizeof(char));
	char *str4 = calloc( strlen( text4)+1, sizeof(char));
	char **stringa;
	stringa = (char **) calloc (4,(sizeof (char*)));
	strcpy(str1, text1);
	strcpy(str2, text2);
	strcpy(str3, text3);
	strcpy(str4, text4);