Ma i database hanno tutti la stessa struttura? Se si, allora il problema è semplice. Anzichè usare il JFileChooser potresti semplicemente usare una JComboBox con l'elenco dei database e in base a quello selezionato cambiare la stringa MY_URL. Ovviamente dato che hai scelto di utilzizare odbc dovrai aver configurato prima tutte le possibili "stringhe".

Se invece i DB hanno strutture diverse allora la cosa si complica un pò.