La tua situazione è questa: il dominio resta lo stesso (www.qualcosa.it), mentre cambia il server (ovvero cambia l'IP associato al dominio).
Per fare questo devi avvisare il tuo mantainer di associare il nuovo ip al vecchio dominio; il tempo necessario al trasferimento generalmente è di 24/36h, durante le quali l'indirizzo IP del nuovo server viene propagato fra i vari server DNS.