Puoi utilizzare vari metodi:

<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico">
<link rel="shortcut icon" href="http://www.tuosito.it/favicon.ico">

....ma io ti consiglio un trucchettino semplice semplice applicabile a tutti e due i metodi appena scritti e cioè:

<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico?v=1">
<link rel="shortcut icon" href="http://www.tuosito.it/favicon.ico?v=1">

Il ?v=1 è come se significasse:

v -> versione
1 -> 1.
e quindi ?versione=1

Potresti anche scrivere:

<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico?v=2">
<link rel="shortcut icon" href="http://www.tuosito.it/favicon.ico?v=2">

oppure

<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico?v=3">
<link rel="shortcut icon" href="http://www.tuosito.it/favicon.ico?v=3">

o addirittura:

<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico?ciao=atutti">
<link rel="shortcut icon" href="http://www.tuosito.it/favicon.ico?ciao=atutti">

In pratica scrivendo ?v=1 (o quello che vuoi, basta che sia presente ? e =), il tuo link alla tua favicon diventa un link ke si porta dietro una variabile.

Prova ad utilizzare questo trucchetto!

Se per esempio fra una settimana vuoi cambiare la tua favicon, cambiala!....ma cambia pure ?v=1
Fallo diventare per esempio ?v=2 e vedrai che senza dover eliminare file temporanei, biscottini ecc....avrai subito subito la tua bbbbella favicon funzionante. Anche in locale!!

E ti dirò di più.

Se modifichi la tua bbbbella favicon con davanti la tua pagina web, anche in locale, ti basterà aggiornare la pagina per vedere la tua bbbella favicon nuova nuova in azione.
Per aggiornare intendo proprio il tasto aggiorna dei browsers niente di chissà cosa!