si..
Codice PHP:

...

<
script language="javascript">
function 
calcolaRisultato ()
{
    var 
op1 document.getElementById("op1");
    var 
op2 document.getElementById("op2");
    
    if (
operatoreValido(op1) && operatoreValido(op1) )
        
scomodaEuclide (op1op2);
    else
        
alert("...");
}

function 
scomodaEuclide(xy)
{
    ...
}

function 
operatoreValido (op)
{
    ...
}

</script>


...

<input id="op1" .../>
<input id="op2" .../>
<button onclick="calcolaRisultato()">Calcola</button> 
Ti ripeto.. non so se è questa la soluzione che cerchi (abbandonare java), ma di sicuro è la più semplice (in questo modo te la cavi in un giorno, altrimenti ti può occorrere anche una settimana...).
Se comunque decidessi di usare un'applet, tutti i
codice:
System.out.println
dovrebbero sparire e comunque il codice andrebbe totalmente rivisto.

Ciao!