Ho riscontrato lo stesso problema e non avendo individuato il problema ho aggirato l'ostacolo
settando la data di scadenza per esempio aggiungendo sette giorni alla data corrente.
codice:
Response.Cookies("MyCookie") = "Il mio primo cookie"
Response.Cookies("MyCookie").Expires = DateAdd("d", 7, Date)
Così il cookie viene eliminato.
Nella proprietà Expires è possibile includere anche un orario. In questo caso è necessario sostituire "d" con "h" per le ore, "n" per i minuti oppure "s" per i secondi e Date() con Now().