Il PC dà "stato connesso" perché il PC vede il router, ha un indirizzo IP e per lui è finita lì. Quindi non mente.

Presumo che tu abbia una connessione flat.
Il PC non si connette ad internet, è il router che lo fa. Se non navighi, è perchè il router non riesce a connettersi al provider. Prova a controllare se nelle opzioni di connessione WAN c'è una scelta tra "sempre attivo", "a richiesta" o qualcos'altro.