Non credo che tu possa, anche perche' la firma del metodo run di Thread o di Runnable non prevede che venga lanciata alcuna eccezione, quindi qualunque cosa avvenga te la gestisci con un try catch dentro al run. Sbaglio?

Nulla ti impedisce comunque di passare un riferimento alla classe che fa partire il thread al thread stesso, e qualora qualcosa avvenga, chiami un certo metodo su quella classe.