<?=$numrequest['name']?> con
<?php echo '$numrequest['name']' ?>

ed anche sostituire il tag php <? con <?php

poi e' errato scrivere il die() a seguire la stringa SQL. Il die lo devi mettere nel caso ricevesse un FALSE la funzione mysql_query(). La stringa sara' sempre true. Aggiungi anche la stampa dell'errore, almeno per il tempo di debug dello script.

Codice PHP:
$query_update "UPDATE user 
                   SET group = '
$newgroup', rank = 'Newbie' 
                   WHERE user = '
$user'";  

mysql_query($query_update)or die ('error updating user ' mysql_error());