L'unica riga che potrebbe servirti per effettuare una ricerca la tieni commentata.
Codice PHP:
//$sql = "SELECT * FROM anagrafico WHERE nome LIKE '$nome' "; 
Questa è la prima cosa che mi viene in mente di dire.

La seconda sarebbe chiederti quale sia il tuo problema, visto che non c'è una domanda specifica nel tuo post, e visto che quella sottointesa non mi sembra edificante (qualcuno che più o meno direttamente scrive codice per conto tuo).

Ti passo allora un link, preso dalle guide di questo sito peraltro, in cui si spiega come effettuare un semplice motore di ricerca per le proprie applicazioni.
LINK.
Leggi bene l'articolo (magari anche quelli precedenti e successivi, male non fa), butta giu del codice, e poi magari torna a postare nel caso di problemi.
Cerca di capire anche l'utilizzo del carattere %, per come utilizzarlo nelle query con il LIKE, senza che si ritorca contro il povero sviluppatore!