Ciao,
io consiglio sempre di mettere session_start(); come prima istruzione della pagina evitando di metterla all'interno di altre funzioni o file da includere.

Poi non mi è molto chiaro cosa intendevi fare con la funzione start_chart()
in particolare con i vari if presenti.
Se la variabile $_SESSION['chart'] non già è inizializzata, ancor meno viene inizializzata in quella funzione e giustamente ti genera quell'errore.
Non è che volevi mettere !isset(...) ?

Alessandro