ti consiglio di controllare bene parentesi e punteggiatura prima di postare codice, anche se capisco benissimo come le prime volte sia difficile accorgersi degli errori 
ecco qui il codice corretto:
Codice PHP:
// connessione al database
$db = mysql_connect ($db_host, $db_user, $db_password);
$db_forum = mysql_select_db ($db_name, $db);
// controllo i campi obblicatori
if (isset($_POST['invio'])) { // Se è stato premuto il tasto invio prosegue. //qui c'era una ( invece di {
// Prendo il contenuto dai campi nome e cognome del form:
$nome = $_POST['nome'];
$cognome = $_POST['cognome']; //qui era scritto $POST
// Validazione di nome e introduzione della variabile $errore.
$errore = 0;
if ($nome == "") $errore = 1;
if ($cognome == "") $errore = 2;
// Controllo d'errore.
switch ($errore) { //qui c'era una ( invece di {
case 0: // non c'è errore fa qualcosa.
case 1: $msg = 'Hai dimenticato di inserire il tuo nome!';
case 2: $msg = 'Non hai inserito il tuo cognome!';
default: $msg = 'Non hai riempiti i campi, non posso inviare.';
} // fine selezione di tipo. //qui c'era una ) invece di }
} // fine condizione iniziale. //qui c'era una ) invece di }
// query di inserimento