Ho davvero poco tempo per mettermi a leggere tutto il tuo codice, ma se (come sospetti) l'errore è nelle query, allora posso provare a darti subito qualche dritta perché c'è qualcosa che non mi torna nella tua sintassi.
Innanzi tutto ricorda che se in una query, indichi il nome della tabella (nome_tabella.nome_colonna), poi devi usare questa sintassi per tutta la stringa SQL.
Questo per quello che riguarda la tua prima query, quella di SELECT. Peraltro, quel tipo di sintassi ti torna utile nelle JOIN, quindi quando devi pescare dati da più tabelle. Per una semplice select come la tua, non ne vedo proprio l'utilità.
Nella query di DELETE, invece, il problema potrebbe nascere dal fatto che le variabili che sono nella clausola di where, erano tra apici.
Visto che mi sembra di capire che i due parametri siano dei numeri interi (due ID), e che quindi le colonne che vai ad interrogare siano di tipo INT, non puoi mettere i valori tra parentesi, altrimenti MySQL li interpreta come stringhe e ti restituisce un errore.
Prova a fare le modifiche come le ho scritte io e ricorda che per debuggare una query, bastano piccoli accorgimenti.
1. manda in echo la stringa SQL e controlla sempre se viene stampato quello che ti aspetti.
2. Con il comando mysql_query() aggiungi sempre il DIE che ti stampi il mysql_errno() ed il mysql_error(), così sai subito i motivi di un eventuale scazzo della query (te lo dice MySQL e se proprio non sai come agire, quantomeno scrivi nel forum che tipo di errore ti viene restituito piuttosto che un generico "non funziona".
3. La stringa di query mandata in echo, la copi e la incolli in una shell di MySQL e vedi se da shell ti viene restituito lo stesso errore oppure no.

OK, ti ho detto tutto.
Di seguito lo script.



p.s. - Ah.... come ho scritto in firma, sia per una questione mia personale, sia per una questione di regole del forum, gradirei non ricevere messaggi privati con richieste di aiuto e/o di codice

Codice PHP:
if(!isset($_POST['productIdToRemove'])) {
   echo "Not OK" ;
   exit;
}                        
// SELEZIONE DELL'ID RELATIVO ALL'UTENTE CHE STA EFFETTUANDO LA TRANSAZIONE              
$query = "
   SELECT `id` 
   FROM user 
   WHERE username= '$user_nome' 
";                             
$result = mysql_query($query) or DIE (mysql_error());

while($row_U = mysql_fetch_assoc($result) {
print"
 ID: ". $row_U[id]."

".$row_U['id'];
}
// CANCELLAZIONE DELLA RIGA RELATIVA AL PRODOTTO DA ELIMINARE
$prod2remove = $_POST['productIdToRemove'];
$res = "
   DELETE FROM `shopping_cart` 
   WHERE id_product = $prod2remove 
   AND id_user= $userid
   LIMIT 1
";
$ris = mysql_query($res) or die("Errore");
echo "OK";